Das Zug-Vogel-Problem

Zwei Züge haben voneinander den Abstand s. Die Züge fahren aufeinander zu, und zwar Zug 1 mit der Geschwindigkeit v1, Zug 2 mit der Geschwindigkeit v2. Ein Vogel befindet sich beim Ausgangszeitpunkt t0über Zug 1 und fliegt in dieselbe Richtung wie der Zug. Dabei ist die Geschwindigkeit des Vogels größer als die Einzelgeschwindigkeiten der Züge, es gilt also:

vVogel > v1 und vVogel> v2

Sobald der Vogel sich über dem anderen Zug befindet, wendet er und fliegt in die Gegenrichtung (also in Richtung von Zug 2). So gehe es weiter: Der Vogel wendet jedesmal, wenn er einen Zug erreicht hat. Beim Zeipunkt tEnde sind die Züge kollidiert.

Zur Abstraktion sollen der Vogel und die beiden Züge jeweils als Punkte dargestellt werden. Außerdem soll die Trägheit des Vogels vernachlässigt werden. Bei tEndeliegen die beiden Punkte Z1 und Z2 (die für die beiden Züge stehen) übereinander. Der Punkt V entspreche dem Vogel.

FRAGE 1: Wie kann man die Strecke ausrechnen, die der Vogel von t0 bis tEnde zurücklegt?

FRAGE 2: Wie oft wendet der Vogel?

(Problemstellung geposted am 15.10 von Kai Lämmle in der Mathegruppe der Maus)

Antwort zu FRAGE 1: Es gelten folgende Gleichungen:

(a)

(b)

Daraus ergibt sich nun:

Antwort zu FRAGE 2: Der Vogel wendet unendlich oft.

Ann.: Der Vogel wendet endlich oft.

Dann müsste das Zusammentreffen der beiden Züge zusammenfallen mit dem Zusammentreffen des Vogels mit einem der Züge, d.h. alle drei müssten gleichzeitig in einem Endpunkt eintreffen. Das ist schlechterdings möglich, denn das Umkehrverhalten lässt dies nicht zu: vVogel > v1und vVogel > v2!!!!!!!!!

Also: Widerspruch zu Annahme, es ergibt sich, dass der Vogel unendlich oft wendet.