Das Haus des Nikolaus

"Wenn man das HdN in einem Zug zeichnen will, muss man mit der Stiftspitze aus jeder Ecke, in die man hineinläuft, auch wieder herauslaufen. Will man also alle Linien, die sich an einer Ecke treffen, genau einmal zeichnen, muss die Linienzahl an dieser Ecke gerade sein. Eine Ausnahme bilden die beiden Ecken, an denen man den Linienzug beginnt und beendet. Die beiden oberen Ecken des Nikolaushauses haben eine gerade Linienzahl und die beiden unteren eine ungerade. Der Dachgiebel zählt nicht als Ecke. Folglich muss der Linienzug an der einen unten Ecke beginnen und an der anderen enden. Da gleiche Wege, die man in umgekehrter Richtung zeichnet, nicht als verschieden zählen, sollen alle Wege an der unteren linken Ecke zählen. Ist man beim Zeichnen das erste Mal an einer Ecke, so hat man an den Ecken lu, lo und ro jeweils drei Möglichkeiten und an der Ecke ru zwei Möglichkeiten, wie man weiterzeichnen kann. Gelangt man das zweite Mal in eine Ecke, so gibt es keine Wahlmöglichkeiten mehr. Insgesamt hat man also 3x3x3x2=54 verschiedene Möglichkeiten.
Um diese Möglichkeit zu überprüfen geht man am besten systematisch vor, indem man beim Zeichnen beispielsweise die Entscheidungsmöglichkeit an jeder Ecke im Uhrzeigersinn abarbeitet. Der erste freie Weg ab der 12-Uhr-Richtung bekommt die Nummer 1, der nächste Nummer 2 und der übernächste, sofern es ihn gibt, die Nummer drei. Die Liste aller Entscheidungen und damit aller möglichen Wege ist nun leicht aufzustellen: 

1111
1112
1113
1121
1122
1123....
3333

Diese Liste hat nicht 54, sondern 81 Zeilen. Das liegt daran, dass an jeder Hausecke drei Entscheidungsmöglichkeiten angenommen wurden. Es ist aber leicht möglich, beim Zeichnen die dritte Möglichkeit fortzulassen, wenn man an die Ecke unten rechts gelangt. Anhand der ersten Zeile der Liste soll verdeutlicht werden, wie sie zu lesen ist. Man beginnt in der Startecke unten links, und die erste 1 bedeutet, dass man den Strich senkrecht nach oben ziehen soll. Dadurch gelangt man zur Ecke oben  links. Die zweite 1 heißt, auch die nächste Linie soll nach oben gezogen werden. Von dort führt kein Weg nach oben, also geht man schräg rechts hoch und gelangt zur Ecke oben rechts. Auch die dritte 1 bedeutet wieder "oben". Von dort führen keine Weg nach oben, nach rechts oben, nach rechts oder nach rechts unten, deshalb nimmt man den Weg nach unten und kommt zur Ecke unten rechts. Die vierte 1 heißt natürlich auch "oben". Der Weg von da aus nach oben ist schon gezeichnet, und der nächste existente Weg läuft nach links zur Ecke unten links. Ab jetzt hat man keine Wahlmöglichkeiten mehr und muss zur Ecke oben rechts, dann nach oben links und schließlich nach unten rechts gehen." 

entnommen aus: Heinrich Hemme, Das Problem des ZWÖLF-ELFS. 100 math. Rätsel mit ausführlichen Lösungen, Vandenhoeck und Ruprecht.